Por qué es falsa la demostración matemática que intenta probar que 2=1

Puede que te haya llegado por WhatsApp y tengas dudas

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Getty Images/Jeffrey Coolidge
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Es un clásico de las matemáticas compartidas en redes. La última vez, en Quora, la red social de preguntas y respuestas, donde han discutido cuál es la trampa. Se trata de una demostración más o menos algebraica de que 2 = 1, pero tú y yo sabemos que dos no es igual a uno. Comprobémoslo con palabras: tú eres tu, yo soy yo… Si nos contamos, “sale” dos.

El hecho de que seamos dos implica que si dos fuera igual que uno, tú y yo seríamos el mismo. Es una deducción lógica. Como está claro que tú y yo no somos el mismo es imposible que se dé 2=1. Entonces, ¿por qué siguen mandándome por WhatsApp demostraciones como la siguiente?

Así que dos es lo mismo que uno, pero ya sabes las desastrosas consecuencias que ese hecho tendría, así que tiene que estar mal, seguro que está mal. Te dejo que lo pienses... ¿Ya lo has pensado? ¿Seguro?

Voy. En el paso 1) pone que A = B. Esto es, A y B deben de ser dos números que valgan lo mismo, por lo que sus cuadrados también valdrán lo mismo. Por tanto, tanto el primer miembro de 3) como el segundo valen 0. Lo mismo vale para el paso 4), la diferencia de cuadrados y la suma multiplicada por la diferencia nos dan 0 = 0.

Y ahí está el truco. Cuando “cancelo” A ̶̶ B en 7), estoy dividiendo ambos miembros por una cantidad que vale 0, por mi suposición inicial de que A = B. Si hay dos factores 0 en ambos lados de una igualdad, los otros factores pueden valer lo que valgan. No puedes dividir por cero, ni dejar que te dividan por cero y lleva mucho cuidado cuando te multipliquen por cero.

Como todos sabemos Bart en la versión original decía “cómete mis calzones”.¡Vivan las traducciones chulas!

La larguísima demostración de que 1+1 = 2

Esta demostración es tramposa y evidentemente falsa, pero acostumbramos a oír (yo por lo menos) que los matemáticos dedican muchas páginas a probar cosas que son evidentes (como que 5x3 no es lo mismo que 3x5). Lo cierto es que si en matemáticas quisiéramos mostrar algo desde la base, partiendo de unos pocos axiomas y sin dar nada por evidente, nos tomaría bastante tiempo.

En los Principia Mathematica de Russell y Whitehead se utilizan 300 páginas para llegar a una demostración formal de cuánto suman uno y uno, pero eso es porque a partir de unos axiomas elementales hay que establecer el significado de los números, del signo de la suma, del signo de igual… Tampoco le toma poco tiempo a un recién nacido llegar a la suma.

Lo curioso es que ese intento de establecer unas matemáticas perfectamente fundamentadas desde lo mínimo, además de muchos calentamientos de cabeza, no conduce a toda la verdad, como demostró Gödel en su trabajo (antes de ponerse a demostrar la existencia de Dios) y retratan tan bien Doxiadis y Papadimitrou en su Logicomix. Gödel demostró que los sistemas lógicos formales daban lugar a resultados que no se podían demostrar, con la paradoja de que sus negaciones tampoco se podían demostrar. Pero eso como tú y yo, que somos uno, ya lo sabemos.

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