Homenaje a Escher: todo lo que puedes aprender de geometría mirando las aceras

Este viernes celebramos el cumpleaños del artista y buscamos geometría en las baldosas

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El suelo de la recepción de la Cadena SER en Gran Vía 32
El suelo de la recepción de la Cadena SER en Gran Vía 32.

El 17 de junio celebramos el 118 aniversario del nacimiento de Maurits Cornelis Escher y lo hacemos por todo lo bajo, mirando al suelo con el #WorldTesselationDay.

La mayor parte de las personas no se preocupan por la forma que tengan las baldosas que cubren las superficies: serán cuadradas, rectangulares… ¿Alguna más? Los matemáticos sabemos que hay toda una rama de matemáticas que estudia las teselaciones, esto es, las diversas regularidades y patrones disponibles al colocar losas que no dejan ningún espacio vacío, ningún trozo de suelo sin enlosar. Las teselaciones no solo se encuentran en el suelo, claro, las hay también en el arte, en el diseño de objetos cotidianos e incluso en la naturaleza (como en las colmenas).

Si antes de seguir leyendo quieres responder experimentando a la pregunta de qué combinaciones de polígonos regulares teselan el plano te recomiendo este simulador. Si sigues pensando que solo cuadrados y rectángulos echa un vistazo.

No es solo que puedas poner distintas baldosas, sino que también hay que tener en cuenta la forma en que se repiten: si es una al lado de la otra a través de una traslación o si van girando alrededor de un punto. También está el tema del color, por ejemplo con rombos de tres colores podemos generar este conocido efecto 3D de la imagen que encabeza el artículo.

Solo hay tres polígonos regulares que teselen ellos solos el plano: triángulos, cuadrados y hexágonos. Estas son las que se denominan teselaciones regulares. Luego también están las semirregulares, que combinan dos o más polígonos regulares. Pero hay que decir que los polígonos regulares están sobrevalorados: ningún pentágono regular puede cubrir el plano ni solo ni con ayuda de otros, pero ya se han encontrado quince pentágonos convexos distintos que pueden servir para alicatar un cuarto de baño:

EsPeggJr / Wikimedia

A pesar de lo anterior, los ayuntamientos no suele ser especialmente creativos a la hora de encargar cubrir sus aceras y casi siempre abusan del cuadrado. Aún así, si miramos con atención podremos encontrar interesantes patrones matemáticos:

Dos formas distintas de colocar la misma baldosa en Lorca, formando un octógono y de cualquier manera. Joseángel Murcia
Tú ponla ¿Quién se va a dar cuenta?. Joseángel Murcia

Buscar patrones multiplicativos en cuadrados o rectángulos enriquece viajes y paseos de manera que un camino que has hecho mil veces puede ser fuente de curiosos descubrimientos, lo recomiendo.

Dos maneras de ver 400, a la izquierda como un cuadrado de 20x20, a la derecha como 16 cuadrados de 25 “botones” cada uno. Se encuentran en dos lados de la acera entre el Museo Reina Sofía y la estación de Atocha. Joseángel Murcia

Y por si te lo has preguntado ¿qué tiene que ver el bueno de Escher con los enlosadores? Maurits era grabador: sus trabajos eran relieves tallados en superficies planas que -tras ser entintados- eran transferidos a papel igualmente plano. Sin embargo, sus imágenes no dejan de jugar a salirse de las dos dimensiones y rellenar todo el espacio 3D, sin olvidar de dónde venían. Por eso que los que no nos cansamos de ver sus obras: sabemos que todo empieza y termina en un plano bien cubierto.

'Reptiles', ejemplo de teselación hexagonal y mucho más. Gemeentemuseum de La Haya

Al parecer la obsesión por las teselaciones le viene al bueno de Maurits de su visita a la Alhambra de Granada, donde pudo comprobar el dominio que tenían los maestros nazaríes en el uso de todas las variaciones posibles de los polígonos que cubren el plano, como demuestra Marcus du Sautoy en su charla TED. (En inglés subtitulado).

No dejes de mirar hoy al suelo porque la manía de utilizar patrones repetitivos para cubrir superficies no es solo cosas de frikis matemáticos.

La naturaleza, copiando a Escher, también quiere rellenar las tres dimensiones utilizando hexágonos (Calzada del Gigante, Irlanda del Norte). DEA / W. Buss / Getty Images

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