La CUP cae de canto: ¿imposible o improbable?

Tras el empate en su votación, uno de los comentarios más repetidos en Twitter es "si tiran una moneda, cae de canto". ¿Hay realmente la misma probabilidad?

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CUP
Algunos han recordado esta imagen, de la campaña de Mas a las generales del 20D, haciendo posible lo imposible. ¿O deberíamos decir “lo improbable”?

La asamblea de la CUP de ayer y su inesperado resultado, un empate a 1515 votos, está dando muchísimo de que hablar en redes. Es muy complicado que se dé un empate entre tantos votos. Es verdad. ¿Cómo de complicado? Un Catedrático de Matemática Aplicada de la Universidad de Sevilla animó la noche del domingo con el siguiente tuit:

¿Cómo ha calculado esa probabilidad?

Parece que utiliza nuestra muy querida regla de los casos favorables divididos por los casos posibles. Imaginamos que había 3030 delegados (y que no hubo abstenciones, votos en blanco, ni nulos, que es mucho suponer) y contamos los síes (o los noes, que para el caso es lo mismo). Los casos favorables son solo uno (que haya el mismo número de apoyos que de rechazos, 1515, la mitad de 3030), mientras que los casos posibles son todos los resultados disponibles, desde que los supuestos 3030 delegados voten “sí” hasta que todos voten “no”. Según mis cuentas, 3031.

Una probabilidad muy pequeña, la que propone el catedrático de matemáticas. No es tan pequeña y está muy alejada de ser imposible.

Votar no es lanzar una moneda al aire. Aunque supongamos que lo fuera: la probabilidad de que lances una moneda equilibrada al aire 3030 veces y que salga 1515 caras y 1515 cruces no es tan pequeña, ni mucho menos. Se calcula como una distribución binomial. Hay un experimento “lanzar una moneda”, hay un éxito “salir cara”, hay una probabilidad de éxito de 0,5. En nuestro caso la probabilidad de obtener exactamente 1515 caras es:

Cincuenta veces más probable que el resultado que dábamos algo más arriba. El empate, además, es más probable que otros posibles resultados que están cerca y desde luego mucho más probable que resultados extremos, tipo 3030 síes y 0 noes.

¿Por qué ocurre esto? Si, por ejemplo, pensamos en dos delegados (o dos monedas) hay más formas de que se dé un empate (el 1º vota sí y el segundo no, el 1º vota no y el 2º sí) a que se den dos noes o dos síes (en este caso es el doble de “probable”). De hecho, si hubiese que apostar por un resultado, el más probable es justamente el que se ha dado, el empate:

Todo esto bajo la asunción de que los asambleístas votaban al azar, con un 50 % de síes y un 50 % de noes, algo que es más o menos como la suposición de una vaca esférica:

El asunto es mucho más complejo, en realidad era conocido lo igualadas que estaban las posturas. Y las primeras votaciones auguraban tensión hasta el final:

Por lo que podríamos introducir otros modelos probabilísticos más sofisticados, con resultados diferentes y probabilidades más favorables al empate.

Hay una segunda derivada del tuit que abre este artículo ¿Cuándo podemos decir que algo poco probable es imposible? Desde luego que era muy difícil que el pasado día 22 te tocase la lotería, y por eso lo más probable es que no te tocase. Pero desde esa mañana hay muchas personas que no piensan lo mismo, porque les tocó. La probabilidad de que una moneda caiga de canto es de uno entre 6000. Y aún eso depende del tamaño del canto.

Al final, tenemos que concluir que la culpa del empate es de los números pares:

Algo que podríamos haber resuelto sumando uno al 3030:

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