No todas las imágenes que están circulando por WhatsApp son sobre el coronavirus. A mí, tal vez porque soy matemático, me ha llegado la siguiente cuenta a través de varios amigos en busca de ayuda (que al final de la nota pueda leerse "No entiendo" invita a que le ayudes, desde luego). Vamos a hacerla, pero antes te pido que lo intentes tú:
La razón de que este cálculo sea problemático es que no debemos sumar los restos, lo que va quedando. Veámoslo con un ejemplo más sencillo. Imagina una reunión con 10 personas de la que se marcha una. Entonces, quedan nueve. E imagina que se marcha una más. Quedarían ocho personas. Y así sucesivamente. Si sumo los restos, el resultado me llevaría a pensar que había 45 personas. ¿Qué sentido tendría eso? Ninguno. Y en eso consiste la explicación.
¿Por qué cuesta trabajo darse cuenta con la primera cuenta? Puede que sea porque vemos la operación hecha en el papel. Y, aunque sabemos que algo está mal, nos cuesta ponernos a rehacerla. Nos está pidiendo algo que es más difícil que hacer una suma: evaluar dónde está el error. Para entender esto voy a plantear otro problema, un clásico, seguro que lo has oído alguna vez, el del euro que falta:
Tres amigos van a tomar algo. Al terminar piden la cuenta y deciden pagarlo a pachas. A medias, vamos. El camarero les dice que son 25 euros. Y cada uno saca un billete de 10 euros. En total, pues, tienen 30 euros. Cuando les traen las vueltas, cinco monedas de euro, cada uno toma una moneda y se la guarda. Deciden, generosos, dejar los dos euros restantes de propina. Así han pagado nueve euros cada uno (diez euros menos el que les han devuelto). Pero tres por nueve son 27. Y si contamos los dos euros en el bote, tenemos 29. ¿Dónde está el euro que falta?
Aquí pasa lo mismo. No te he pedido que hagas la operación, te la he dado hecha y te he preguntado por el error, lo que resulta más complicado. Algo parecido ocurría con el chiste de los caballos y las cuadras, que vimos por aquí hace algún tiempo. En aquel caso, se trataba de una división mal hecha.
¿Y dónde está el dichoso euro que falta? En realidad, no falta ninguno: tenemos 25 euros de la cuenta, tres euros en sus respectivos bolsillos y dos euros en el bote. 30=25+3+2. Todo bien, por tanto. Otra forma de verlo es con fracciones. En este caso, cada uno tendría que pagar 25/3, pero decide pagar ⅔ de euro más, lo que hace un total de 27/3 euros. O sea, nueve. Lo que sumado al euro que tiene en el bolsillo suma los 10 euros que tenía al principio.
Así que para resolver estos problemas, no nos queda más remedio que arremangarnos hasta que, gracias a los cálculos, localicemos el error. Hace poco vimos que cada persona sigue estrategias distintas para hacer estos cálculos mentales, pero es bueno saber que siempre pueden entrenarse y que así ganaremos flexibilidad numérica.
Vamos a aprovechar para preguntarnos por otras formas de organizar los números en operaciones elementales de cálculo, las cuales pueden servirnos para resolver restas como la que me planteaban mis amigos por WhatsApp. Porque, aunque no lo creas, también hay tendencias en la forma de calcular. Voy a hablar de dos propuestas muy interesantes: la de los algoritmos ABN (abiertos y basados en números) y OAOA (otros algoritmos para las operaciones aritméticas)
La propuesta de ABN, que tiene miles de seguidores y de la que puedes saber más consultando este blog o este canal de Youtube, es la de utilizar una rejilla en la que el alumno va organizando los números según su experiencia. Vamos a ver un ejemplo hecho por un alumno para resolver una resta. Concretamente, 415 menos 193:
Observa que en la primera línea coloca un 100. Si le quita 100 a 415, le quedan 315. Y le faltarán por quitar 93, que quedan apuntados y pasa a la siguiente fila. En el segundo paso quita 90, aunque podría haber restado cualquier otra cantidad con la que se sintiera cómodo. Cuando quita 90, apunta que quedan 225. Y aún tiene que quitar otros 3, algo que hace en el siguiente paso. Es un método abierto, porque otro alumno que lo hubiera necesitado lo habría resuelto en más pasos, o en menos. Lo de "basado en números" viene de que no ha utilizado las cifras de los números, sino las cantidades en su totalidad, sin llevarse ninguna. Algo muy bueno.
La otra propuesta es la que hacen los maestros OAOA, y es más radical. Consiste en que el alumnado genere sus propios procedimientos, les pongan nombre y elijan el que quieran utilizar en función del contexto que inventen para cada operación aritmética. Por ejemplo esta resta "poco a poco" que es de ir sustrayendo las cantidades que el alumno considere.
O esta otra resta "rocódromo" en la que los alumnos van ascendiendo desde el sustraendo al minuendo, como cuando en el mercado nos dan la vuelta completando las cantidades. Imagina que tienes que pagar 17,45 € y das un billete de 50€. Te dan 5 céntimos (que hacen 17,50) y 50 céntimos más (18€) y dos euros (20€) y 30 euros más (son 50). Como en la imagen de arriba, pero bien hecho.
Hay quien opinará que enseñar otros algoritmos y preguntarse por qué funcionan es una pérdida de tiempo. Los algoritmos tradicionales -los que nos enseñaron a casi todos- se aprenden rápido y se ejecutan en poco tiempo. Los algoritmos tradicionales son económicos y eficaces. Sí que lo son, por eso se impusieron, pero son poco transparentes: no se sabe muy bien lo que se está haciendo (el mejor ejemplo es el de la raíz cuadrada).
Claro que son eficaces, pero la carrera de la eficacia ya nos la ganaron las calculadoras. Ahora deberíamos plantearnos aprender de formas que nos ayuden a tener mayor sentido numérico y que mejorasen nuestro cálculo mental y nuestra capacidad de resolver problemas de una forma flexible. Y estoy convencido de que preguntarse por qué funcionan otros procedimientos o por qué están mal los memes que nos mandan por Whatsapp nos puede ayudar.
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