El problema clásico de las 100 monedas y las 10 caras

Un juego matemático clásico que sirve para explicar el principio del complementario (y para provocar jaquecas a tus amigos)

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Este verano -o lo que queda de él- vas a poder retar a mucha gente con este puzzle clásico. Se llama de las 100 monedas aunque para hacerlo no es preciso utilizar 100 monedas reales, pueden ser imaginarias.

Para la foto de arriba he utilizado 100 monedas de céntimo. No he tenido que ir muy lejos: en el bote de las vueltas de la compra había casi doscientas, además algún que otro botón. Casi dos euros. Con eso no tengo ni para una participación de lotería, aunque bien pensado ¿para qué? Me desvío, te recuerdo el reto:

Tienes 100 monedas. Exactamente 10 de ellas tienen la cara hacia arriba. Si alguien te tapa los ojos y las mezcla, ¿cómo podrías hacer dos pilas de monedas que tengan el mismo número de caras hacia arriba?

El enunciado es sencillo, pero algo falla en nuestro modelo. ¡Las monedas de céntimo no tienen ni cara ni cruz! Vaya, cómo echo de menos los tiempos del “cara o cruz”, no te lo perdonaré nunca, UE. Para la solución vamos a poner 10 monedas con el 1 hacia arriba, haciendo la vez de cara. Para hacer de cruces nos quedaremos con los símbolos nacionales: catedrales de Santiago, trirremos, papas, anversos de la hoja del roble, etcétera, a las que llamaremos cruces para simplificar.

...

¿Lo sabes ya?

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¿Y ahora?

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Baja un poco más... No valen soluciones creativas, tipo “ponerlas todas de canto”. Bueno, sí valen, pero esa ya nos la sabemos. ¿Se te ocurre alguna otra?

...

Esta es la solución: separa de la pila de las 100 monedas exactamente 10. Y dales la vuelta a esas 10 monedas.

Me explico: una vez las separes, tendrás dos pilas: la A, con 90 monedas y la B, con 10. En el montón A puede haber entre 0 y 10 monedas con la cara (el 1) hacia arriba. Vamos a llamar n al número de monedas que tienen la cara hacia arriba en este montón. El resto de monedas (90-n) muestran cruces. Esto quiere decir que si en esta pila hay una cara, habrá 89 cruces.

¿Y en el B? ¿Cuántas caras habrá? Pues como en total había 10 y en el A hay n, en el B hay justamente 10-n. ¿Y cuántas cruces habrá en este montón? Pues todas las monedas que no estén mostrando cara: 10 - (10 - n), esto es, n. Es decir, en la pila A hay el mismo número de caras que cruces en la pila B.

¿Y qué pasa si cojo la pila B y le doy la vuelta a todas las monedas? Pues todas las caras que estaban mirando para abajo estarán mirando hacia arriba, por lo que habrá exactamente n monedas con la cara mirando hacia arriba: las mismas que en el montón A. Exactamente lo que me pedía el problema (en ningún momento pedía que los dos montones tuvieran el mismo tamaño).

Ejemplo: separo dos montones. En la pila A hay 90 monedas, 4 de ellas de cara (aunque yo no lo sepa). En la B hay 10 monedas: 6 caras y 4 cruces. Para que ambos montones tengan el mismo número de caras, basta con darle la vuelta a todas las monedas del segundo montón. Así, en lugar de 4 cruces y 6 caras, pasará a haber 6 cruces y 4 caras, que es el mismo número del montón A. Esto funciona siempre, sepamos o no el número de caras y cruces de cada montón.

En realidad este puzzle es una aplicación muy directa y sencilla del principio del complementario. Si lo hubiéramos hecho con dos monedas no habría ninguna duda. Probemos: tengo dos monedas y hay el mismo número de caras -una- que de cruces -una, también-. Tomo una moneda. Si es la de la cara, como le doy la vuelta, ya muestran las dos cruces, ya tengo dos montones con el mismo número de caras, ninguna. Si es cruz, le doy la vuelta y ya muestran las dos caras.

A veces pensar un problema con números más pequeños nos ayuda a resolverlo, o como poco, a entenderlo.

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