Los 9 hechos más controvertidos de las matemáticas

Aunque no le creas hay tantos números pares como naturales y el 50% de las matrículas de los coches repiten algún dígito

  • Comentar
  • Imprimir
  • Enviar por correo
Russell Crowe sabe bien lo que es meterse en la piel de un matemático
Russell Crowe sabe bien lo que es meterse en la piel de un matemático

Las matemáticas, a pesar de su lógica y sus axiomas, no escapan a la controversia. Todos los ejemplos que mostramos a continuación son ciertos y están demostrados, pero no son para nada evidentes. Así que si quieres asegurarte las mejores discusiones de café sobre matemáticas, esto te interesa:

1.  0,99999... = 1 (Cero coma nueve periódico es uno)

Vamos a demostrarlo: imagina que un capítulo de tu serie favorita se vende a 0,999999...€ (ojo, no cuesta 99 céntimos sino 0,9999999… sigue ...9999… euros lo que llamamos 'cero coma nueve periódico'). Salvo que haya una oferta especial por comprar toda la temporada, diez capítulos valdrían 9,999999... €. Si ya has visto uno de ellos, o alguien te ha hecho espoilers y no quieres comprarlo, compras solo 9 capítulos, que te costarán 9,9999... - 0,99999... = 9 euros exactos. Eso por 9 capítulos, por lo que cada capítulo te habrá costado 1€. Ojo esto no es como esas cosas que te mandan por Whatsapp que dicen que 1 = 2. Esos son mentira: en algún paso multiplican o dividen ambos miembros por algo que vale 0, un a-b y había dicho que a=b, o semejante. Este es real.

2. El problema de Monty Hall

La historia de este problema y sus controversias es apasionante, pero vamos al asunto. Imagina que has llegado a la final de un programa televisivo tipo Un, dos, tres. Hay tres puertas, detrás de una de ellas se encuentra el premio gordo, pongamos un coche deportivo. Detrás de las otras dos hay sendas cabras. Asumamos que quieres ganar el coche. El presentador te pide que elijas una puerta. Eliges la puerta 1 por ejemplo. El coche puede estar detrás de cualquiera de ellas -o sea que tienes un tercio de probabilidad de ganar el coche, ¿no?- Ahora el presentador te ofrece un trato. Abre una de las puertas tras las que sabe que se encuentra una de las cabras y te pregunta si te quieres quedar en tu puerta o prefieres cambiarte a la otra puerta que está cerrada. ¿Qué eliges?

Las matemáticas te demuestran que es mejor cambiarte. Mira:

Este análisis está hecho suponiendo que se elige la puerta 1, si se eligieron las puertas 2 o 3 es enteramente análogo (como se dice en estos casos, os lo dejo como ejercicio).

Observa que las columnas 4 y 5 dicen que si me quedo gano coche una de cada tres veces, mientras que si me cambio, gano coche dos de cada tres veces. O sea que yo me cambio. ¿Tú qué harías? Si tu interlocutor no está del todo convencido puedes enseñarle este análisis que incluye un simulador. O puedes ir a mayores y plantearle la siguiente alternativa: 'El problema de las 100 puertas'. Tenemos un coche y 99 cabras. Eliges una puerta y te enseñan 98 cabras. ¿Te quedas con tu 1% o te cambias?

3. Es muy probable encontrar al menos dos personas que compartan cumpleaños en un grupo pequeño

Si no te lo crees haz el experimento. En un grupo de 23 personas o más la probabilidad es mayor al 50%, si el grupo pasa de las 57 personas la probabilidad es del 99%. Vamos a calcular esto apoyándonos en que lo contrario a que "algunas personas compartan cumpleaños", es que "nadie comparta cumpleaños". A veces en probabilidad es más fácil demostrar lo contrario y luego darle la vuelta de nuevo: la probabilidad de que n personas no compartan cumpleaños viene dada por p=365/365 · 364/365 ·...· (365-n+1)/365 para n menor que 365, donde hemos desechado años bisiestos, gemeliers y demás casos extremos. La probabilidad de que alguna pareja - ojo que pueden ser varias parejas o incluso tríos - es la complementaria a la fracción anterior, (1-p) que tiene esta gráfica en función del número de personas presentes en la reunión.

Elaboración propia

Lo curioso es que aunque lleguemos muy pronto al 99% para estar seguros al 100% precisemos que haya 366 personas - 367 si incluimos años, como este 2016, bisiestos.  Por lo que la parte superior del gráfico casi vale 1, aunque no lo hace hasta bastante más a la derecha, tiene lo que en matemáticas se llama una asíntota horizontal.

4. El 50% de las matrículas repiten algún dígito

Bueno, no es exactamente el 50, es el 49,6%, pero si queréis generar una pequeña polémica matemática esta es una buena pregunta para un atasco ¿es más probable que el próximo coche tenga algún dígito repetido o que no?

Como en el caso de los cumpleaños, no tener dígitos repetidos es mucho más fácil de contar, ya que nos permite elegir cualquier dígito para las unidades de millar (10), 9 diferentes para las centenas, 8 para las decenas y 7 para las unidades, total 10·9·8·7 = 5.040 matrículas - con las mismas letras - tienen distintos dígitos, mientras que las restantes 4.960 repiten al menos uno. Observa como lo contrario de tener todos diferentes es repetir "al menos" uno, lo que incluye repetir dos (1122) o repetirlos todos (0000). Por cierto, la matrícula de mi coche repite dígito ¿y el tuyo?

5. Sumas finitas e infinitas

La serie 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +... suma exactamente 1. Lo podemos demostrar con las manos: toma una servilleta, parte la mitad, apártala. De la mitad sobrante quédate con media. Toma la mitad del resto... al final no quedará nada, lo que pasa es que el final, final no llega nunca porque es en el infinito. Este hecho conecta con las paradojas de Zenón (para llegar al destino habría que llegar primero a mitad del camino, y antes a mitad de mitad del camino, y antes a mitad de mitad de mitad del camino... y parece que no podamos llegar nunca) porque hay una suma infinita. Pero llegamos.

La serie 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + … Solo tiene 'unos pocos' números más que la anterior pero en vez de valer 'un poco más' que 1, suma ∞ que es bastante más que uno. Es muy poco intuitiva porque si tomamos la suma de sus primeros 10^43 términos apenas vale 100. Pero es que tiene muchísimos términos. Infinitos, concretamente. Una demostración sencilla de que la serie es más grande que cualquier número que se te venga a la cabeza se la debemos a Nicolás Oresme (1350) y precisa de que 1/3+1/4 > 1/4+1/4 = 1/2, también 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 1/2, vamos haciendo grupos cada vez más grandes de términos, pero cualquiera de esos grupos es mayor que 1/2. Por lo que toda la serie se puede transformar en la suma de muchos 0,5 ¿cuántos? Los que necesites, será por números...

6. Hay tantos números pares como números naturales

Ojo, también hay tantos impares como naturales, por lo que los naturales se pueden separar en dos conjuntos disjuntos ¡que tienen tantos números cada uno como los propios números naturales!

Para contar cosas que son infinitas no podemos usar los dedos de una mano, ni siquiera los de muchas manos, porque todos esos son finitos, tendremos que hacer otra cosa, concretamente emparejar con un conjunto del que sí que sabemos cuántos hay. Fíjate:

Lo que acabamos de hacer es una biyección o correspondencia que asigna cada número natural a su doble (¡y viceversa!) por lo que no habrá ningún número natural que no esté emparejado con un par (su doble) ni ningún par que no tenga el natural que me dice que posición ocupa (su mitad). No hay más de unos que de los otros. Claro que lo mismo ocurre con los impares, no son ni uno más que los naturales (y por tanto ni uno más que los pares).

Esto tiene una consecuencia, la paradoja del "Hotel ∞" u Hotel de Cantor. En un hotel con infinitas habitaciones siempre habría sitio para un nuevo huésped, solo habría que pedirle a los que allí estuvieran hospedados que se movieran a la habitación de al lado. De hecho si llegaran en mitad de la noche infinitos huéspedes, también podríamos alojarlos. Solo que algunos de los que ya estaban durmiendo tendrían que desplazarse por pasillos arbitrariamente largos y no sabemos cómo les iba a sentar si tienen, como yo, mal despertar.

7. La ley de Benford

Como ya explicamos aquí Frank Benford formuló que, en números de varias cifras que provengan de determinados conjuntos de medidas: áreas de regiones, longitudes de ríos, tasas de nacimiento o mortalidad, artículos en revistas, direcciones de calles... La probabilidad de que el primer dígito no nulo sea 1 es del 30,1%. El resto de los dígitos van decreciendo teniendo para el 2 un 17,6% y siendo el menos probable el 9 con solo 4,6%. Conjuntos que claramente no cumplen esto son los que se extraen al azar como los de la lotería.

8. Si barajas (bien) unas cartas lo más probable es que nunca jamás se haya dado esa distribución de cartas

Si consideras una baraja española de 48 cartas, y cuentas todas las maneras de ordenarlas obtienes - como con las matrículas de arriba - que para la primera hay 48 posibles, 47 para la segunda, 46 para la tercera... (sigue así un rato) ...dos para la penúltima y una para la última. Eso los matemáticos lo abreviamos con un símbolo de admiración (!) por lo que si ves escrito 48! quiere decir 48·47·46·... (no pienso escribirlos todos) ...·3·2·1. Que resulta un considerable 124139155....37337...0000000000. Dejo aquí los cálculos por si quieres repasarlos. Tiene 62 dígitos y se suele escribir utilizando notación científica 1,24 · 10^61 (el circunflejo es como escribimos "elevado a"). Comparado con entre las 10^22 y 10^24 estrellas que puede haber. Es poco probable que se haya dado antes, ni aunque estén todos los aliens barajando barajas españolas desde el origen de los tiempos.

Los factoriales se pueden usar para expresar tiempo, así 10! segundos son exactamente 6 semanas, un día tiene 4! horas, 8! minutos son 4 semanas.

9. Para terminar, un poco de historia y de lengua y alguna ausencia notable

Llevamos haciendo matemáticas unos 30.000 años, tal vez más incluso, como muestran los huesos de babuino con marcas como el de Ishango o el de Lebombo. O sea, que empezamos a hacer cálculos antes que a escribir o cultivar. Por cierto que 'cálculo' viene de piedra en latín. Cero, cifra y descifrar, vienen de la misma palabra árabe. Además 4 es un número maldito en China porque se pronuncia parecido a 'muerte'. Para saber algo más sobre historia de los números puedes ver este vídeo, que presenta el actor que fue la madre de Brian. ¿Sabías que en inglés 1.000 es el primer natural que lleva una A? ¿Y que en castellano es el único que no lleva ni 'e' ni 'o'?

Y hasta aquí.  Sé que me he dejado un buen montón de hechos matemáticos controvertidos, como saber que lo más probable es que tus amigos sean más populares que tú, o como el teorema de Banach-Tarski, por el que a partir de una bola tridimensional y haciendo solo unos cuantos cortes podríamos generar dos copias idénticas del modelo, pero ¿para qué quieres los comentarios?

*Para que no te pierdas nada, nosotros te mandamos lo mejor de Verne a tu móvil: ¡únete a nuestro Telegram telegram.me/verneelpais!

* Para que no te pierdas nada, nosotros te mandamos lo mejor de Verne a tu móvil: ¡únete a nuestro Telegram telegram.me/verne!

  • Comentar
  • Imprimir
  • Enviar por correo

Comentar Normas

Para poder comentar debes estar registrado en Eskup y haber iniciado sesión

Darse de alta

Date de alta:
es fácil, gratis y podrás:

  • Comentar las noticias
  • Participar en nuestros canales temáticos
  • Dialogar con los periodistas y otros lectores

Lo más visto en Verne